গণিত SSC

From Notun boi
Jump to: navigation, search

সূচিপত্র


বাস্তব সংখ্যা


সেট
ফাংশন


বীজগাণিতিক বর্গ
বীজগানিতিক ঘন
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
ভাগশেষ উপপাদ্য


সূচক
লগারিদম
বৈজ্ঞানিক সংখ্যা


একঘাত সমীকরণ
দ্বিঘাত সমীকরণ


স্থান, তল ও রেখা
কোণ
ত্রিভুজ


ব্যবহারিক জ্যামিতি


বৃত্ত
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
বৃত্তের ছেদক ও স্পর্শক


সমকোণী ত্রিভুজের নিয়মাবলী
ত্রিকোণমিতির সূত্রাবলী
কোনের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত


দূরত্ব ও উচ্চতা


অনুপাত সমানুপাত
ধারাবাহিক অনুপাত


দুইচলকের সমীকরণ
প্রতিস্থাপন ও আড়গুণন
লেখচিত্রে সমাধান


সমান্তর ধারা
গুনোত্তর ধারা


জ্যামিতিক অনুপাত
সদৃশতা
প্রতিসমতা


ক্ষেত্রফল
পরিমিতি
পরিসংখ্যান

The important thing about a problem is not its solution, but the strength we gain in finding the solution.

-Anonymous


বাস্তব সংখ্যা[edit]

পরিমাণকে প্রতীক তথা সংখ্যা আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতি থেকেই গণিতের উৎপত্তি। সংখ্যার ইতিহাস মানব সভ্যতার ইতিহাসের মতই প্রাচীন। গ্রিক দার্শনিক এরিস্টটলের মতে, প্রাচীন মিশরের পুরোহিত সম্প্রদায়ের গণিত অনুশীলনের মাধ্যমে গণিতের আনুষ্ঠানিক অভিষেক ঘটে। তাই সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি যীশুখ্রিস্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে। এরপর নানা জাতি ও সভ্যতার হাত ঘুরে অধুনা সংখ্যা ও সংখ্যারীতি একটি সার্বজনীন রূপ ধারণ করেছে।
স্বাভাবিক সংখ্যা গণনার প্রয়োজনে প্রাচীন ভারতবর্ষের গণিতবিদগণ সর্বপ্রথম শূন্ন্য ও দশভিত্তিক স্থানীয়মান পদ্ধতির প্রচলন করেন, যা সংখ্যা বর্ণনায় একটি মাইলফলক হিসাবে বিবেচিত। ভারতীয় ও চীনা গণিতবিদগণ শূন্ন্য, ঋণাত্মক, বাস্তব, পূর্ণ ও ভগ্নাংশের ধারণার বিস্তৃতি ঘটান যা মধ্যযুগে আরবীয় গণিতবিদরা ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করেন। দশমিক ভগ্নাংশের সাহায্যে সংখ্যা প্রকাশের কৃতিত্ব মধ্যপ্রাচ্যের মুসলিম গণিতবিদদের বলে মনে করা হয়। আবার তাঁরাই একাদশ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম বীজগাণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসেবে বর্গমূল আকারে অমূলদ সংখ্যার প্রবর্তন করেন। ইতিহাসবিদদের ধারণা খ্রিস্টপূর্ব ৫০ অব্দের কাছাকাছি গ্রিক দার্শনিকরাও জ্যামিতিক অঙ্কনের প্রয়োজনে অমূলদ সংখ্যা, বিশেষ করে দুই-এর বর্গমূলের প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেছিলেন। ঊনবিংশ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদরা বাস্তব সংখ্যার প্রণালীবদ্ধ করে পূর্ণতা দান করেন। দৈনন্দিন প্রয়োজনে বাস্তব সংখ্যা সম্বন্ধে শিক্ষার্থীদের সুস্পষ্ট জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে বাস্তব সংখ্যা বিষয়ে সামগ্রিক আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-

  • বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস করতে পারবে।
  • বাস্তব সংখ্যাকে দশমিকে প্রকাশ করে আসন্ন মান নির্ণয় করতে পারবে।
  • দশমিক ভগ্নাংশের শ্রেণিবিন্যাস ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং ভগ্নাংশকে আবৃত্ত দশমিকে প্রকাশ করতে পারবে।
  • আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে পারবে।
  • অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • সদৃশ ও বিসদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করতে পারবে এবং এতদসংক্রান্ত বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করতে পারবে।


Unreal Number

স্বাভাবিক সংখ্যা(Natural Number)
1,2,3,4....... ইত্যাদি সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বলে। 2,3,5,7....... ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং 4,6,8,9......ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা।

পূর্ণসংখ্যা (Integers)
শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যাসমূহকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ ....... -3,-2,-1,0,1,2,3 ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা।

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number)
p,q পরস্পর সহমৌলিক, q0 এবং q1 হলে, আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলে। যেমন : ইত্যাদি ভগ্নাংশ সংখ্যা।
pq হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন : ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

মূলদ সংখ্যা (Rational Number)
p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q0 হলে, আকারের সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন : ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং সকল পূর্ণসংখ্যা এবং সকল ভগ্নাংশ সংখ্যা হবে মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)
যে সংখ্যাকে আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p,q পূর্ণসংখ্যা এবং q0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন : ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।

দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা :
মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিকে প্রকাশ করা হলে একে দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা। দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক সংখ্যা সমীম হলে, এদেরকে সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্ক সংখ্যা অসীম হলে, এদেরকে অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, 0.52, 3.4152 ইত্যাদি সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং 1.333...., 2.123512367..... ইত্যাদি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা। আবার, অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলোর মধ্যে দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্তি হলে, এদেরকে অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্তি না হলে এদের অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। যেমন, 1.2323...., 5.654 ইত্যাদি অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং 0.523050056....., 2.12340314..... ইত্যাদি অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।

বাস্তব সংখ্যা (Real Number)
সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়। যেমন :
0, ±1, ±2, ±3,.......


1.24, 0.415, 1.3333....., 0.62, 4.120345061..... ইত্যাদি বাস্তব সংখ্যা।

ধনাত্মক সংখ্যা (Positive Number)
শূন্য অপেক্ষা বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, ইত্যাদি ধনাত্মক সংখ্যা।

ঋণাত্মক সংখ্যা (Negative Number)
শূনন্য অপেক্ষা ছোট সকল বাস্তব সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা।

অঋণাত্মক সংখ্যা (Non negative Number)
শূন্য সহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমন,ইত্যাদি অঋণাত্মক সংখ্যা।

9-10 gonit. L.1.1.jpg
কাজ : সংখ্যাগুলোকে বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাসে অবস্থান দেখাও।


উদাহরণ ১। এবং 4 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

বাস্তব সংখ্যার উপর যোগ ও গুণন প্রক্রিয়ার মৌলিক বৈশিষ্ট্য :

  • ১. a,b বাস্তব সংখ্যা হলে, (i) a b বাস্তব সংখ্যা এবং (ii) ab বাস্তব সংখ্যা।
  • ২. a,b বাস্তব সংখ্যা হলে, (i) a b b a এবং (ii) ab ba
  • ৩. a, b, c বাস্তব সংখ্যা হলে, (i) a b c a b c এবং (ii) ab c a bc
  • ৪. a বাস্তব সংখ্যা হলে, বাস্তব সংখ্যায় কেবল দুইটি সংখ্যা 0 ও 1 বিদ্যমান যেখানে (i) 0 1 (ii) a 0 a (iii) a.1 1.a a
  • ৫. a বাস্তব সংখ্যা হলে, (i) a+(-a)=0 (ii) a≠0 হলে,
  • ৬. a, b, c বাস্তব সংখ্যা হলে, a(b+c)= ab+ac
  • ৭. a, b বাস্তব সংখ্যা হলে, a < b অথবা, a=b অথবা, a>b
  • ৮. a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a<b হলে, a+c<b+c
  • ৯. a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a<b হলে, (i) ac<bc যখন c>0 (ii) ac>bc হলে, c<0


প্রতিজ্ঞা : 2 একটি অমূলদ সংখ্যা।

উদাহরণ ২। প্রমাণ কর যে, কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

কাজঃ প্রমান কর যে, একটি অমূলদ সংখ্যা।


দশমিক ভগ্নাংশের শ্রেণিবিন্যাস[edit]

Rashi

প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়। যেমন : ইত্যাদি।
দশমিক ভগ্নাংশ তিন প্রকার: সসীম দশমিক, আবৃত্ত দশমিক এবং অসীম দশমিক ভগ্নাংশ।

সসীম দশমিক ভগ্নাংশ : সসীম দশমিকে দশমিক চিহ্নের ডানদিকে সসীম সংখ্যক অঙ্ক থাকে।
যেমন : 0.12, 1.023, 7.832, 54.67,....... ইত্যাদি সসীম দশমিক ভগ্নাংশ।

আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশঃ আবৃত্ত দশমিকে দশমিক চিহ্নের ডানদিকের অঙ্কগুলো বা অংশবিশেষ বারবার থাকবে।
যেমন, 3.333...., 2.454545....., 5.12765765 ইত্যাদি আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।

অসীম দশমিক ভগ্নাংশ : অসীম দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক চিহ্নের ডানদিকের অঙ্ক কখনো শেষ হয় না, অর্থাৎ দশমিক চিহ্নের ডানদিকের অঙ্কগুলো সসীম হবে না বা অংশবিশেষ বারবার আসবে না।
যেমন : 1.4142135......, 2.8284271..... ইত্যাদি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ।

সসীম দশমিক ও আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা এবং অসীম দশমিক ভগ্নাংশ অমূলদ সংখ্যা। কোনো অমূলদ সংখ্যার মান যত দশমিক স্থান পর্যন্ত ইচ্ছা নির্ণয় করা যায়। কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে স্বাভাবিক সংখ্যায় প্রকাশ করতে পারলে, ঐ ভগ্নাংশটি মূলদ সংখ্যা।

কাজ : 1.723, 5.2333...., 0.0025, 2.1356124...., 0.0105105..... এবং 0.450123...... ভগ্নাংশগুলোকে কারণসহ শ্রেণিবিন্যাস কর।


আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ:[edit]

ভগ্নাংশটিকে দশমিকে প্রকাশ করি।

লক্ষ করি, ভগ্নাংশের লবকে হর দিয়ে ভাগ করে দশমিক ভগ্নাংশে পরিণত করার সময় ভাগের প্রক্রিয়া শেষ হয় নাই। দেখা যায় যে, ভাগফলে একই সংখ্যা 3 বারবার আসে। এখানে, 3.8333.... একটি আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।
যে সকল দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর ডানে একটি অঙ্ক ক্রমান্বয়ে বারবার বা একাধিক অঙ্ক পর্যায়ক্রমে বারবার আসে, এদের আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক ভগ্নাংশে যে অংশ বারবার অর্থাৎ পুনঃপুন হয়, একে আবৃত্ত অংশ বলে।

আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে একটি অঙ্ক আবৃত্ত হলে, সে অঙ্কের উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু এবং একাধিক অঙ্ক আবৃত্ত হলে, কেবলমাত্র প্রথম ও শেষ অঙ্কের উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু দেওয়া হয়। যেমন 2.555..... কে লেখা হয় 2.5 দ্বারা এবং 3.124124124..... কে লেখা হয়, 3.124 দ্বারা।
দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পর আবৃত্তাংশ ছাড়া অন্য কোনো অঙ্ক না থাকলে, একে বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক বলে এবং পৌনঃপুনিক দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পর আবৃত্তাংশ ছাড়া এক বা একাধিক অঙ্ক থাকলে, একে মিশ্র পৌনঃপুনিক বলে। যেমন, 1.3 বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ এবং 4.23512 মিশ্র পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ।
ভগ্নাংশের হরে ছাড়া অন্য কোনো মৌলিক গুননীয়ক (উৎপাদক) থাকলে, সেই হর দ্বারা লবকে ভাগ করলে, কখনো নিঃশেষে বিভাজ্য হবে না। যেহেতু পর্যায়ক্রমে ভাগে শেষের অঙ্কগুলো 1,2,3,......,9 ছাড়া অন্য কিছু হতে পারে না, সেহেতু এক পর্যায়ে ভাগশেষগুলো বারবার একই সংখ্যা হতে থাকবে। আবৃত্তাংশের সংখ্যা সবসময় হরে যে সংখ্যা থাকে, এর চেয়ে ছোট হয়।

উদাহরণ ৩। কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উদাহরণ ৪। কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
আবৃত্ত দশমিককে সামান ভগ্নাংশে পরিবর্তন
আবৃত্ত দশমিকের মান নির্ণয় :
উদাহরণ ৫। 0.3 কে সামান ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উদাহরণ ৬। 0.24 কে সামান ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উদাহরণ ৭। 5.1345 কে সামান ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উদাহরণ ৮। 42.3478 কে সামান ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উদাহরণ ৯। 5.23457

কাজ : 0.41 এবং 3.04623 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর কর।

আবৃত্ত দশমিককে সামান ভগ্নাংশে রূপান্তরের নিয়ম
নির্ণেয় ভগ্নাংশের লব = প্রদত্ত দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দু বাদ দিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যা এবং অনাবৃত্ত অংশ দ্বারা গঠিত সংখ্যার বিয়োগফল।
নির্ণেয় ভগ্নাংশের হর = দশমিক বিন্দুর পরে আবৃত্ত অংশে যতগুলো অঙ্ক আছে ততগুলো নয় (9) এবং অনাবৃত্ত অংশে যতগুলো অঙ্ক আছে ততগুলো শূন্য (0) দ্বারা গঠিত সংখ্যা।
এখানে, এ নিয়ম সরাসরি প্রয়োগ করে কয়েকটি আবৃত্ত দশমিকে সামান্য ভগ্নাংশে পরিণত করা হলো। উদাহরণ ১০। 45.2346 কে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উদাহরণ ১১। 32.567 কে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

কাজ : 0.012 এবং 3.3124 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর কর।


সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ও বিসদৃশ আবৃত্ত দশমিক
আবৃত্ত দশমিকগুলোতে অনাবৃত্ত অংশের সংখ্যা সমান হলে এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যাও সমান হলে, তাদের সদৃশ আবৃত্ত দশমিক বলে। এছাড়া অন্য আবৃত্ত দশমিকগুলোকে বিসদৃশ আবৃত্ত দশমিক বলে। যেমন: 12.45 ও 6.32; 9.453 ও 125.897 সদৃশ আবৃত্ত দশমিক। আবার, 0.3456 ও 7.45789, 6.4357, 2.89345 ও বিসদৃশ আবৃত্ত দশমিক।
বিসদৃশ আবৃত্ত দশমিকগুলোকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে পরিবর্তনের নিয়ম
কোনো আবৃত্ত দশমিকের আবৃত্ত অংশের অঙ্কগুলোকে বারবার লিখলে দশমিকের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। যেমন,6.4537= 6.453737= 6.45373= 6.453737। এখানে প্রত্যেকটি আবৃত্ত দশমিক 6.45373737...... একটি অসীম দশমিক। প্রত্যেকটি আবৃত্ত দশমিককে সামান ভগ্নাংশে পরিবর্তন করলে দেখা যাবে প্রত্যেকটি সমান।






সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে পরিণত করতে হলে সংখ্যাগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাটির অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা বেশি, প্রত্যেকটি অনাবৃত্ত অংশ তত অঙ্কের করতে হবে এবং বিভিন্ন সংখ্যায় আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু যত, প্রত্যেকটি দশমিকের আবৃত্ত অংশ তত অঙ্কের করতে হবে।
উদাহরণ ১২। 5.6, 7.345 ও 10.78423 কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে পরিণত কর।
উদাহরণ ১৩। ও কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে পরিবর্তন কর।

কাজ : 3.467, 2.01243 এবং 7.5256 কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে পরিবর্তন কর।

আবৃত্ত দশমিকের যোগ ও বিয়োগ আবৃত্ত দশমিকের যোগ বা বিয়োগ করতে হলে আবৃত্ত দশমিকগুলোকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে পরিবর্তন করতে হবে। এরপর সসীম দশমিকের নিয়মে যোগ বা বিয়োগ করতে হবে। সসীম দশমিক ও আবৃত্ত দশমিকগুলোর মধ্যে যোগ বা বিয়োগ করতে হলে আবৃত্ত দশমিকগুলোকে সদৃশ করার সময় প্রত্যেকটি আবৃত্ত দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে সসীম দশমিকের দশমিক বিন্দুর পরের অঙ্ক সংখ্যা ও অন্যান্য আবৃত্ত দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে বড় যে সংখ্যা সে সংখ্যার সমান। আর আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে যথানিয়মে প্রাপ্ত ল.সা.গু এর সমান এবং সসীম দশমিকের ক্ষেত্রে আবৃত্ত অংশের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যক শূন্য বসাতে হবে। এরপর যোগ বা বিয়োগ সসীম দশমিকের নিয়মে করতে হবে। এভাবে প্রাপ্ত যোগফল বা বিয়োগফল প্রকৃত যোগফল বা বিয়োগফল হবে না। প্রকৃত যোগফল বা বিয়োগফল বের করতে হলে দেখতে হবে যে সদৃশকৃত দশমিকগুলো যোগ বা বিয়োগ করলে প্রতে ̈কটি সদৃশকৃত দশমিকগুলোর আবৃত্ত অংশের সর্ববামের অঙ্কগুলোর যোগ বা বিয়োগে হাতে যে সংখ্যাটি থাকে, তা প্রাপ্ত যোগফল বা বিয়োগফলের আবৃত্ত অংশেরসর্বডানের অঙ্কের সাথে যোগ বা অঙ্ক থেকে বিয়োগ করলে প্রকৃত যোগফল বা বিয়োগফল পাওয়া যাবে। এটিই নির্ণেয়যোগফল বা বিয়োগফল হবে।
উদাহরণ ১৪। 3.89, 2.178 ও 5.89798 যোগ কর।
উদাহরণ ১৫। 8.9478, 2.346 ও 4.71 যোগ কর।

কাজ : যোগ কর : ১। 2.097 ও 5.12768 ২। 1.345, 0.31576 ও 8.05678

উদাহরণ ১৬। 8.243 থেকে 5.24673 বিয়োগ কর।
উদাহরণ ১৭। 24.45645 থেকে 16.437 বিয়োগ কর।

কাজ : বিয়োগ কর : ১। 1.12784 থেকে 10.418 ২। 23.0394 থেকে 9.12645

আবৃত্ত দশমিকের গুণ ও ভাগ
আবৃত্ত দশমিকগুলোকে ভগ্নাংশে পরিণত করে গুণ বা ভাগের কাজ সমাধা করে প্রাপ্ত ভগ্নাংশটিকে দশমিকে প্রকাশ করলেই আবৃত্ত দশমিকগুলোর গুণফল বা ভাগফল হবে। সসীম দশমিক ও আবৃত্ত দশমিকের মধ্যে গুণ বা ভাগ করতে হলে এ নিয়মেই করতে হবে। তবে ভাগের ক্ষেত্রে ভাজ্য ও ভাজক দুইটিই আবৃত্ত দশমিক হলে, উভয়কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করে নিলে ভাগের কাজ সহজ হয়।
উদাহরণ ১৮। 4.3 কে 5.7 দ্বারা গুণ কর।
উদাহরণ ১৯। 0.28 কে 42.18 দ্বারা গুণ কর।
উদাহরণ ২০। 2.5× 4.35× 1.234= কত ?

কাজ : ১। 1.13 কে 2.6 দ্বারা গুণ কর। ২। 0.2× 1.12× 0.081= কত ?

উদাহরণ ২১। 7.32 কে 0.27 দ্বারা ভাগ কর।
উদাহরণ ২২। 2.2718 কে 1.912 দ্বারা ভাগ কর।
উদাহরণ ২৩। 9.45 কে 2.863 দ্বারা ভাগ কর।

কাজ : ১। 0.6 কে 0.9 দ্বারা ভাগ কর। ২। 0.732 কে 0.027 দ্বারা ভাগ কর।

অসীম দশমিক ভগ্নাংশ[edit]

অনেক দশমিক ভগ্নাংশ আছে যাদের দশমিক বিন্দুর ডানের অঙ্কের শেষ নেই, আবার এক বা একাধিক অঙ্ক বারবার পর্যায়ক্রমে আসে না, এসব দশমিক ভগ্নাংশ অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। যেমন, 5.134248513942307........... একটি অসীম দশমিক সংখ্যা। 2 এর বর্গমূল একটি অসীম দশমিক। এখন, 2 এ বর্গমূল বের করি।
নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত মান এবং নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান
অসীম দশমিকের মান কোনো নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত মান বের করা এবং কোনো নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান বের করা একই অর্থ নয়।
যেমন, 5.4325893...... দশমিকটির “চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মান” হবে 5.4325, কিন্তু 5.4325893..... দশমিকটির “চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান” হবে 5.4326। এখানে “দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান” এবং “দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান” একই যা 5.43। সসীম দশমিকও এভাবে আসন্ন মান বের করা যায়।
উদাহরণ ২৪। 13 এর বর্গমূল বের কর এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লেখ।
উদাহরণ ২৫। 4.4623845..... দশমিকটির 1,2,3,4, ও 5 দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান বের কর।

কাজ : 29 এর বর্গমূল নির্ণয় কর এবং বর্গমূলকে দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লেখ।

সেট ও ফাংশন[edit]

বীজগাণিতিক রাশি[edit]

সূচক ও লগারিদম[edit]

এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণ[edit]

রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ[edit]

ব্যবহারিক জ্যামিতি[edit]

বৃত্ত[edit]

== ৮.১

Headline text[edit]

==

Headline text[edit]

==
==

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত[edit]

দূরত্ব ও উচ্চতা[edit]

বীজগণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত[edit]

দুই চলকবিশিস্ট সরল সহসমীকরণ[edit]

সসীম ধারা[edit]

অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা[edit]



ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য[edit]

পরিমিতি[edit]

==পরিসংখ্যান==


Share your opinion